Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Riman həndəsəsi (elliptik həndəsə) — qeyri-Evklid həndəsələrindən biri; Evklid həndəsəsinin aksiomlarından fərqli aksiomlara əsaslanan həndəsi nəzəriyyə. Üçölçülü Riman həndəsəsinin əsas obyektləri (elementləri) nöqtə, düz xətt və müstəvi, əsas anlayışları isə aidlik (nöqtənin düz xəttə və müstəviyə aidliyi), tərtib (məsələn, düz xətt üzərində nöqtələrin tərtibi və ya müstəvidə götürülmüş nöqtədən çıxan düz xətlərin tərtibi) və fiqurların konqruyentliyidir.
Riman həndəsəsi Bernhard Rimanın "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" (Həndəsənin əsaslandığı fərziyyələr haqqında) adlı ilk mühazirəsində ifadə etdiyi nəzəri baxışların əsasında formalaşmışdır. Riman həndəsəsi R3 fəzasındakı səthlərin diferensial həndəsəsinin çox geniş və mücərrəd bir ümumiləşməsidir. Riman həndəsəsinin inkişafı səthlərin həndəsəsi və onların geodezik əyrilərin (geodeziklərin) davranışı ilə bağlı müxtəlif nəticələrin sintezi, daha yüksək ölçülü diferensiallanan çoxobrazlıların tədqiqində tətbiq oluna bilən üsulların meydana çıxmasıyla nəticələndi. O, Eynşteynin ümumi nisbilik nəzəriyyəsinin formalaşmasına imkan verməklə yanaşı qrup nəzəriyyəsi və təqdimat nəzəriyyəsinə, eləcə də riyazi analizə dərin təsir göstərdi və cəbri və diferensial topologiyanın inkişafına təkan verdi.
Giriş
Riman həndəsəsi ilk dəfə 19-cu əsrdə Bernhard Riman tərəfindən ümumiləşmiş formada irəli sürmüşdür. O, metrik xassələri nöqtədən nöqtəyə dəyişən genişhəcmli həndəsi aralıqlarla, o cümlədən qeyri-Evklid həndəsəsinin standart növləri ilə məşğul olmuşdur.
Hər bir hamar çoxobrazlı Riman metrikasını qəbul edir ki, bu da bir çox hallarda diferensial topologiya məsələlərini həll etməyə kömək edir. Həmçinin o (dörd ölçüdə) ümumi nisbilik nəzəriyyəsinin əsas obyektləri olan psevdo-Riman çoxobrazlılarının daha mürəkkəb strukturu üçün giriş səviyyəsi kimi yararlıdır. Riman həndəsəsinin digər ümumiləşdirmələrinə Finsler həndəsəsi daxildir.
Nizamlı kristallardakı qüsurların riyazi strukturu və diferensial həndəsə arasında yaxın bir analogiya var. Dislokasiyalar və disklinasiyalar burulma və əyriliklər yaradır.
Klassik teoremlər
Riman həndəsəsindəki ən klassik teoremlərin bir hissəsi aşağıda verilmişdir. Seçim apararkən formulyasiyanın əhəmiyyətinə və zərifliyinə diqqət yetirilir. Nəticələrin əksəriyyətini Ceff Çiqer və Devid Ebinin klassik monoqrafiyasından tapmaq olar (aşağıya baxın).
Verilmiş düsturlar çox dəqiq və ya ən ümumi olmaqdan uzaqdır. Bu siyahı artıq əsas tərifləri bilən və bu təriflərin nə ilə bağlı olduğunu bilmək istəyənlər üçün nəzərdə tutulub.
Ümumi teoremlər
- Qauss-Bonne teoremi. 2-ölçülü kompakt Riman çoxobrazlınında Qauss əyriliyinin inteqralı 2πχ(M)-ə bərabərdir, burada χ(M) M-in Eyler xarakteristikasını ifadə edir. Bu teorem hər hansı kompat bərabər ölçülü Riman çoxobrazlısı üçün ümumiləşməyə malikdir (bax: ümumiləşmiş Qauss-Bonne teoremi)
- Nəşin yerləşdirmə teoremləri. Hər bir Riman çoxobrazlısının izometrik olaraq Rn Evklid fəzasına yerləşdirilə biləcəyini ifadə edir.
Böyük həndəsə
Aşağıdakı teoremlərin hamısında fəzanın qlobal strukturu, o cümlədən çoxobrazlının topoloji tipi və ya nöqtələrin təbiəti haqqında bəzi məlumatlar əldə etmək üçün "kifayət qədər böyük" məsafələrdə fəzanın lokal xarakterli olduğunu (adətən əyrilik fərziyyəsindən istifadə etməklə tərtib edilir) qəbul edirik.
Sıxılmış seksiya əyriliyi
- Sfera teoremi. Əgər M, seksiya əyriliyi 1/4 və 1 arasında ciddi şəkildə sıxışdırılmış sadə əlaqəli n-ölçülü kompakt Riman çoxobrazlısıdırsa, M sfera üçün diffeomorfdur.
- Çiqerin sonluluq teoremi. C, D və V sabitləri nəzərə alınmaqla, seksiya əyriliyi ilə yalnız sonlu sayda (diffeomorfizmə qədər) |K| ≤ C olan, diametri D-dən böyük, həcmi V-dən kiçik olmayan n-ölçülü kompakt Riman çoxobrazlıları mövcuddur.
- Qromovun haradasa düz olan çoxobrazlısı. Hər hansı bir εn > 0 üçün n-ölçülü Riman çoxobrazlısının seksiya əyriliyinə malik metrikası varsa |K| ≤ εn və diametri 1-dən böyük deyilsə, onun sonlu qabığı nil çoxobrazlısına diffeomorfdur.
Aşağıdan məhdud seksiya əyriliyi
- Çiqer–Qromollun ruh teoremi. Əgər M qeyri-kompakt, tamamilə qeyri-mənfi n-ölçülü əyri Riman çoxobrazlısıdırsa, M normal S dəstinə diffeomorf olduqda M kompakt, tamamilə geodezik S altçoxobrazlısını özündə saxlayır (S M-in ruhu adlanır). Xüsusilə, M hər yerdə ciddi müsbət əyriliyə malikdirsə, o zaman Rn-ə diffeomorfdur. Q. Perelman 1994-cü ildə Ruh Fərziyyəsi üçün heyrətamiz dərəcədə zərif/qısa bir isbat verdi: M yalnız bir nöqtədə müsbət əyriliyə malikdirsə, Rn üçün diffeomorfdur.
- Qromovun Betti ədədi teoremi. Sabit bir C = C(n) var ki, əgər M, müsbət seksiya əyriliyinə malik birləşdirilmiş kompakt n-ölçülü Riman çoxobrazlısıdırsa, onun Betti ədədlərinin cəmi ən çox C-dir.
- Qrov–Pitersenin sonluluq teoremi. C, D və V sabitləri nəzərə alınmaqla, seksiya əyriliyi K ≥ C, diametri D-dən böyük, həcmi isə V-dən kiçik olmayan kompakt n-ölçülü Riman çoxobrazlılarının yalnız sonlu sayda homotopiya tipləri mövcuddur.
Yuxarıdan məhdud seksiya əyriliyi
- Kartan–Adamar teoremi qeyri-müsbət seksiya əyriliyi ilə tamamilə sadə əlaqələnmiş Riman çoxobrazlısı M istənilən nöqtədə eksponensial xəritə vasitəsilə n = dim M ilə Evklid fəzasına Rn diffeomorf olduğunu ifadə edir. Bu o deməkdir ki, qeyri-müsbət seksiya əyriliyi ilə sadə formada birləşdirilmiş tam Riman çoxobrazlısının istənilən iki nöqtəsi unikal (təkrarsız) geodezik vasitəsilə birləşdirilir.
- Mənfi seksiya əyriliyinə malik hər hansı kompakt Riman çoxobrazlısının geodezik seli erqodikdir.
- Əgər M ciddi mənfi k sabiti ilə yuxarıdan məhdudlaşmış seksiya əyrilikli tam Riman çoxobrazlısıdırsa, o, KAT(k) fəzasıdır. Nəticə etibarı ilə onun əsas qrupu Γ = π1(M) Qromov hiperbolikdir. Əsas qrupun strukturu üçün bunun bir çox təsiri var:
- qrup sonlu şəkildə təqdim olunur;
- Γ üçün söz məsələsinin müsbət həlli var;
- Γ qrupu sonlu virtual kohomoloji ölçüyə malikdir;
- o sonlu nizamlı elementlərin yalnız sonlu sayda cütləşmiş siniflərini ehtiva edir;
- Γ-nın abel alt qrupları faktiki olaraq siklikdir, ona görə də Z×Z-ə izomorf olan altqrup yoxdur.
Aşağıdan məhdud Riççi əyriliyi
- Mayers teoremi. Əgər kompakt Riman çoxobrazlısı müsbət Riççi əyriliyinə malikdirsə, onun əsas qrupu sonludur.
- Boxner düsturu. Əgər kompakt Riman n-çoxobrazlı mənfi olmayan Riççi əyriliyinə malikdirsə, onun ilk Betti ədədi ən çoxu n-dir, bu yalnız Riman çoxobrazlısının hamar bir torla bərabərləyində doğrudur.
- Ayırma teoremi. Əgər tam n-ölçülü Riman çoxobrazlısı mənfi olmayan Riççi əyriliyinə və düz xəttə (yəni hər intervalda məsafəni minimuma endirən geodezik əyriyə) malikdirsə, o, həqiqi xəttin birbaşa hasilinə və tam (n-1)-ölçülü qeyri-mənfi Riççi əyriliyinə malik Riman çoxobrazlısına izometrikdir.
- Bişop–Qromov bərabərsizliyi. Müsbət Riççi əyriliyi ilə tam n-ölçülü Riman çoxobrazlısında r radiuslu metrik şarın həcmi ən çox Evklid fəzasındakı eyni radiuslu r şarının həcminə bərabərdir.
- Qromovun kompaktlıq teoremi. Müsbət Riççi əyriliyinə və ən çoxu D diametrinə malik bütün Riman çoxobrazlılarının dəsti Qromov-Hausdorff metrikasında əvvəlcədən kompaktdır.
Mənfi Riççi əyriliyi
- Mənfi Riççi əyriliyinə malik kompakt Riman çoxobrazlısının izometriya qrupu diskretdir.
- Ölçüsü n ≥ 3 olan mənfi Riççi əyrilikli istənilən hamar çoxobrazlı Riman metrikasına uyur. (Bu səthlər üçün doğru deyil.)
Müsbət skalyar əyrilik
n-ölçülü tor müsbət skalyar əyriliyi olan metrikaya uymur.
Əgər kompakt n-ölçülü Riman çoxobrazlısının injeksiya radiusu π-dən kiçik deyilsə, orta skalyar əyrilik ən çoxu n(n-1) olur.
Qeydlər
- "maths.tcd.ie". 2016-03-18 tarixində . İstifadə tarixi: 2022-02-25.
- Kleinert, Hagen (1989). "Gauge Fields in Condensed Matter Vol II" 2022-08-22 at the Wayback Machine: 743–1440.
- Kleinert, Hagen (2008). "Multivalued Fields in Condensed Matter, Electromagnetism, and Gravitation" 2022-01-20 at the Wayback Machine (PDF): 1–496.
- Joaçim Lohkamp göstərdi ki, (Annals of Mathematics, 1994) ikidən çox ölçüyə malik istənilən çoxobrazlı mənfi Riççi əyrilikli metrikaya uyur.
İstinadlar
Kitablar
- Berger Marcel (2000), Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century, University Lecture Series, vol. 17, Rhode Island: American Mathematical Society, . (Provides a historical review and survey, including hundreds of references).
- Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008), Comparison theorems in Riemannian geometry, Providence, RI: AMS Chelsea Publishing: Revised reprint of the 1975 original.
- Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004), Riemannian geometry, Universitext (3rd ed.), Berlin: Springer-Verlag.
- Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin: Springer-Verlag, ISBN .
- From Riemann to Differential Geometry and Relativity (Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos, and Sumio Yamada, Eds.) Springer, 2017, XXXIV, 647 p. ISBN
Məqalələr
- Brendle, Simon; Schoen, Richard M. (2007), Classification of manifolds with weakly 1/4-pinched curvatures, arXiv: 0705.3963, Bibcode:2007arXiv0705.3963B (#empty_citation)
Xarici keçidlər
- Riemannian geometry by V. A. Toponogov at the Encyclopedia of Mathematics
- Weisstein, Eric W. "Riemannian Geometry". MathWorld.
wikipedia, oxu, kitab, kitabxana, axtar, tap, meqaleler, kitablar, oyrenmek, wiki, bilgi, tarix, tarixi, endir, indir, yukle, izlə, izle, mobil, telefon ucun, azeri, azəri, azerbaycanca, azərbaycanca, sayt, yüklə, pulsuz, pulsuz yüklə, haqqında, haqqinda, məlumat, melumat, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, şəkil, muisiqi, mahnı, kino, film, kitab, oyun, oyunlar, android, ios, apple, samsung, iphone, pc, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, web, computer, komputer
Riman hendesesi elliptik hendese qeyri Evklid hendeselerinden biri Evklid hendesesinin aksiomlarindan ferqli aksiomlara esaslanan hendesi nezeriyye Ucolculu Riman hendesesinin esas obyektleri elementleri noqte duz xett ve mustevi esas anlayislari ise aidlik noqtenin duz xette ve musteviye aidliyi tertib meselen duz xett uzerinde noqtelerin tertibi ve ya mustevide goturulmus noqteden cixan duz xetlerin tertibi ve fiqurlarin konqruyentliyidir Riman hendesesi Bernhard Rimanin Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen Hendesenin esaslandigi ferziyyeler haqqinda adli ilk muhaziresinde ifade etdiyi nezeri baxislarin esasinda formalasmisdir Riman hendesesi R3 fezasindaki sethlerin diferensial hendesesinin cox genis ve mucerred bir umumilesmesidir Riman hendesesinin inkisafi sethlerin hendesesi ve onlarin geodezik eyrilerin geodeziklerin davranisi ile bagli muxtelif neticelerin sintezi daha yuksek olculu diferensiallanan coxobrazlilarin tedqiqinde tetbiq oluna bilen usullarin meydana cixmasiyla neticelendi O Eynsteynin umumi nisbilik nezeriyyesinin formalasmasina imkan vermekle yanasi qrup nezeriyyesi ve teqdimat nezeriyyesine elece de riyazi analize derin tesir gosterdi ve cebri ve diferensial topologiyanin inkisafina tekan verdi GirisRiman hendesesi ilk defe 19 cu esrde Bernhard Riman terefinden umumilesmis formada ireli surmusdur O metrik xasseleri noqteden noqteye deyisen genishecmli hendesi araliqlarla o cumleden qeyri Evklid hendesesinin standart novleri ile mesgul olmusdur Her bir hamar coxobrazli Riman metrikasini qebul edir ki bu da bir cox hallarda diferensial topologiya meselelerini hell etmeye komek edir Hemcinin o dord olcude umumi nisbilik nezeriyyesinin esas obyektleri olan psevdo Riman coxobrazlilarinin daha murekkeb strukturu ucun giris seviyyesi kimi yararlidir Riman hendesesinin diger umumilesdirmelerine Finsler hendesesi daxildir Nizamli kristallardaki qusurlarin riyazi strukturu ve diferensial hendese arasinda yaxin bir analogiya var Dislokasiyalar ve disklinasiyalar burulma ve eyrilikler yaradir Klassik teoremlerRiman hendesesindeki en klassik teoremlerin bir hissesi asagida verilmisdir Secim apararken formulyasiyanin ehemiyyetine ve zerifliyine diqqet yetirilir Neticelerin ekseriyyetini Ceff Ciqer ve Devid Ebinin klassik monoqrafiyasindan tapmaq olar asagiya baxin Verilmis dusturlar cox deqiq ve ya en umumi olmaqdan uzaqdir Bu siyahi artiq esas terifleri bilen ve bu teriflerin ne ile bagli oldugunu bilmek isteyenler ucun nezerde tutulub Umumi teoremler Qauss Bonne teoremi 2 olculu kompakt Riman coxobrazlininda Qauss eyriliyinin inteqrali 2px M e beraberdir burada x M M in Eyler xarakteristikasini ifade edir Bu teorem her hansi kompat beraber olculu Riman coxobrazlisi ucun umumilesmeye malikdir bax umumilesmis Qauss Bonne teoremi Nesin yerlesdirme teoremleri Her bir Riman coxobrazlisinin izometrik olaraq Rn Evklid fezasina yerlesdirile bileceyini ifade edir Boyuk hendese Asagidaki teoremlerin hamisinda fezanin qlobal strukturu o cumleden coxobrazlinin topoloji tipi ve ya noqtelerin tebieti haqqinda bezi melumatlar elde etmek ucun kifayet qeder boyuk mesafelerde fezanin lokal xarakterli oldugunu adeten eyrilik ferziyyesinden istifade etmekle tertib edilir qebul edirik Sixilmis seksiya eyriliyi Sfera teoremi Eger M seksiya eyriliyi 1 4 ve 1 arasinda ciddi sekilde sixisdirilmis sade elaqeli n olculu kompakt Riman coxobrazlisidirsa M sfera ucun diffeomorfdur Ciqerin sonluluq teoremi C D ve V sabitleri nezere alinmaqla seksiya eyriliyi ile yalniz sonlu sayda diffeomorfizme qeder K C olan diametri D den boyuk hecmi V den kicik olmayan n olculu kompakt Riman coxobrazlilari movcuddur Qromovun haradasa duz olan coxobrazlisi Her hansi bir en gt 0 ucun n olculu Riman coxobrazlisinin seksiya eyriliyine malik metrikasi varsa K en ve diametri 1 den boyuk deyilse onun sonlu qabigi nil coxobrazlisina diffeomorfdur Asagidan mehdud seksiya eyriliyi Ciqer Qromollun ruh teoremi Eger M qeyri kompakt tamamile qeyri menfi n olculu eyri Riman coxobrazlisidirsa M normal S destine diffeomorf olduqda M kompakt tamamile geodezik S altcoxobrazlisini ozunde saxlayir S M in ruhu adlanir Xususile M her yerde ciddi musbet eyriliye malikdirse o zaman Rn e diffeomorfdur Q Perelman 1994 cu ilde Ruh Ferziyyesi ucun heyretamiz derecede zerif qisa bir isbat verdi M yalniz bir noqtede musbet eyriliye malikdirse Rn ucun diffeomorfdur Qromovun Betti ededi teoremi Sabit bir C C n var ki eger M musbet seksiya eyriliyine malik birlesdirilmis kompakt n olculu Riman coxobrazlisidirsa onun Betti ededlerinin cemi en cox C dir Qrov Pitersenin sonluluq teoremi C D ve V sabitleri nezere alinmaqla seksiya eyriliyi K C diametri D den boyuk hecmi ise V den kicik olmayan kompakt n olculu Riman coxobrazlilarinin yalniz sonlu sayda homotopiya tipleri movcuddur Yuxaridan mehdud seksiya eyriliyi Kartan Adamar teoremi qeyri musbet seksiya eyriliyi ile tamamile sade elaqelenmis Riman coxobrazlisi M istenilen noqtede eksponensial xerite vasitesile n dim M ile Evklid fezasina Rn diffeomorf oldugunu ifade edir Bu o demekdir ki qeyri musbet seksiya eyriliyi ile sade formada birlesdirilmis tam Riman coxobrazlisinin istenilen iki noqtesi unikal tekrarsiz geodezik vasitesile birlesdirilir Menfi seksiya eyriliyine malik her hansi kompakt Riman coxobrazlisinin geodezik seli erqodikdir Eger M ciddi menfi k sabiti ile yuxaridan mehdudlasmis seksiya eyrilikli tam Riman coxobrazlisidirsa o KAT k fezasidir Netice etibari ile onun esas qrupu G p1 M Qromov hiperbolikdir Esas qrupun strukturu ucun bunun bir cox tesiri var qrup sonlu sekilde teqdim olunur G ucun soz meselesinin musbet helli var G qrupu sonlu virtual kohomoloji olcuye malikdir o sonlu nizamli elementlerin yalniz sonlu sayda cutlesmis siniflerini ehtiva edir G nin abel alt qruplari faktiki olaraq siklikdir ona gore de Z Z e izomorf olan altqrup yoxdur Asagidan mehdud Ricci eyriliyi Mayers teoremi Eger kompakt Riman coxobrazlisi musbet Ricci eyriliyine malikdirse onun esas qrupu sonludur Boxner dusturu Eger kompakt Riman n coxobrazli menfi olmayan Ricci eyriliyine malikdirse onun ilk Betti ededi en coxu n dir bu yalniz Riman coxobrazlisinin hamar bir torla beraberleyinde dogrudur Ayirma teoremi Eger tam n olculu Riman coxobrazlisi menfi olmayan Ricci eyriliyine ve duz xette yeni her intervalda mesafeni minimuma endiren geodezik eyriye malikdirse o heqiqi xettin birbasa hasiline ve tam n 1 olculu qeyri menfi Ricci eyriliyine malik Riman coxobrazlisina izometrikdir Bisop Qromov berabersizliyi Musbet Ricci eyriliyi ile tam n olculu Riman coxobrazlisinda r radiuslu metrik sarin hecmi en cox Evklid fezasindaki eyni radiuslu r sarinin hecmine beraberdir Qromovun kompaktliq teoremi Musbet Ricci eyriliyine ve en coxu D diametrine malik butun Riman coxobrazlilarinin desti Qromov Hausdorff metrikasinda evvelceden kompaktdir Menfi Ricci eyriliyi Menfi Ricci eyriliyine malik kompakt Riman coxobrazlisinin izometriya qrupu diskretdir Olcusu n 3 olan menfi Ricci eyrilikli istenilen hamar coxobrazli Riman metrikasina uyur Bu sethler ucun dogru deyil Musbet skalyar eyrilik n olculu tor musbet skalyar eyriliyi olan metrikaya uymur Eger kompakt n olculu Riman coxobrazlisinin injeksiya radiusu p den kicik deyilse orta skalyar eyrilik en coxu n n 1 olur Qeydler maths tcd ie 2016 03 18 tarixinde Istifade tarixi 2022 02 25 Kleinert Hagen 1989 Gauge Fields in Condensed Matter Vol II 2022 08 22 at the Wayback Machine 743 1440 Kleinert Hagen 2008 Multivalued Fields in Condensed Matter Electromagnetism and Gravitation 2022 01 20 at the Wayback Machine PDF 1 496 Joacim Lohkamp gosterdi ki Annals of Mathematics 1994 ikiden cox olcuye malik istenilen coxobrazli menfi Ricci eyrilikli metrikaya uyur IstinadlarKitablar Berger Marcel 2000 Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century University Lecture Series vol 17 Rhode Island American Mathematical Society ISBN 0 8218 2052 4 Provides a historical review and survey including hundreds of references Cheeger Jeff Ebin David G 2008 Comparison theorems in Riemannian geometry Providence RI AMS Chelsea Publishing Revised reprint of the 1975 original Gallot Sylvestre Hulin Dominique Lafontaine Jacques 2004 Riemannian geometry Universitext 3rd ed Berlin Springer Verlag Jost Jurgen 2002 Riemannian Geometry and Geometric Analysis Berlin Springer Verlag ISBN 3 540 42627 2 From Riemann to Differential Geometry and Relativity Lizhen Ji Athanase Papadopoulos and Sumio Yamada Eds Springer 2017 XXXIV 647 p ISBN 978 3 319 60039 0 Meqaleler Brendle Simon Schoen Richard M 2007 Classification of manifolds with weakly 1 4 pinched curvatures arXiv 0705 3963 Bibcode 2007arXiv0705 3963B empty citation Xarici kecidlerRiemannian geometry by V A Toponogov at the Encyclopedia of Mathematics Weisstein Eric W Riemannian Geometry MathWorld