Xüsusi törəmə

Xüsusi törəmə, çoxdəyişənli funksiyanın digər dəyişənləri sabit saxlanmaqla bir dəyişənə görə törəməsidir. ${\displaystyle f(x,y,\dots )}$ funksiyasının ${\displaystyle x}$ dəyişəninə görə xüsusi törəməsi

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h,y,...)-f(x,y,...)}{h}}}$

kimi təyin olunur.

${\displaystyle f}$-in ${\displaystyle x}$-a görə xüsusi törəməsi

${\displaystyle f'_{x},f_{x},\partial _{x}f,\ D_{x}f,D_{1}f,{\text{ ya da }}{\frac {\partial }{\partial x}}f}$

kimi də ifadə oluna bilər. Bəzi hallarda, təyin olunmuş ${\displaystyle z=f(x,y,\ldots )}$ funksiyası üçün ${\displaystyle z}$-in ${\displaystyle x}$-a görə xüsusi törəməsi ${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial x}}}$ kimi ifadə edilir.

Xüsusi törəməni birdəyişənli törəmədən ayırmaq üçün ${\displaystyle d}$ simvolu əvəzinə ${\displaystyle \partial }$ simvolu işlədilir. Bu simvol ilk dəfə 1770-ci ildə Markus de Kondorket tərəfindən, xüsusi törəməni bildirmək üçün riyaziyyata daxil olub. Xüsusi törəmənin müasir yazılış forması isə Adrien Mari Lejandra(1786) məxsusdur. Sonradan o, bu yazılışdan imtina etsə də 1841-ci ildə Karl Qustav Yakob Yakobi tərəfindən yenidən gətirilmişdir.

İzahı

z = x² + xy + y² funksiyasının qrafiki. (1, 1) nöqtəsindəki, y-ı sabit saxlamaqla alınan xüsusi törəmə, xz müstəvisinə paralel müvafiq toxunanı xarakterizə edir.

Yuxarıdakı qrafikin y = 1 müstəvisinə uyğun gələn kəsiyi. Koordinat oxları fərqli şkalada verilib. Toxunanın bucaq əmsalı 3-dür.

Tutaq ki, f funksiyasının birdən çox dəyişəni var. Məsələn,

${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

Bu funksiyanın qrafiki Evklid fəzasında bir səth təyin edir. Bu səthdəki hər nöqtənin sonsuz sayda var. Xüsusi differensiallama, bu toxunanlardan birini seçmək və onun bucaq əmsalını tapmaq aktıdır. Adətən, ən çox maraq doğuran xətlər ${\displaystyle xz}$ və yz müstəvisinə paralel olan xəttlərdir(müvafiq olaraq, y və ya x dəyişənini sabit saxlamaqla).

Bu funksiyanın ${\displaystyle P(1,1)}$ nöqtəsinə toxunan və eyni zamanda ${\displaystyle xz}$ müstəvisinə paralel olan xəttin bucaq əmsalını tapmaq üçün ${\displaystyle y}$ dəyişənini sabit kimi götürürük. Qrafik və müvafiq müstəvi sağda göstərilib. Aşağıdakı şəkilsə funksiyanın ${\displaystyle y=1}$ müstəvisində necə göründüyünün təsviridir. ${\displaystyle y}$ sabit kimi götürməklə tapılan törəmə bizə ${\displaystyle f}$ funksiyasının ${\displaystyle (x,y)}$ nöqtəsinə toxunan xəttin bucaq əmsalını verir:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$

Beləliklə ${\displaystyle (1,1)}$ nöqtəsində bucaq əmsalı 3 olur. Buna görə də ${\displaystyle (1,1)}$ nöqtəsində

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3.}$

Yəni ${\displaystyle z}$-in ${\displaystyle (1,1)}$ nöqtəsində ${\displaystyle x}$-a görə xüsusi törəməsi qrafikdən də göründüyü kimi 3-ə bərabərdir..

İstinadlar

1. Miller, Jeff. "Earliest Uses of Symbols of Calculus". Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. 2009-06-14. 2015-05-01 tarixində . İstifadə tarixi: 2009-02-20.