Yakobi üsulu

Yakobi üsulu — rəqəmsal xətti cəbrdə diaqonal dominant xətti bərabərliklərin həllinin tapılması alqoritmi. Hər bir diaqonal element həll edilir və təxmini dəyər daxil edilir. Proses həllə yaxınlaşana kimi davam etdirilir. Bu üsula adı verilib.

Təsviri

Fərz edək ki,

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

n dərəcəli xətti bərabərliklərdir, burada:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.}$

Sonra A matrisi diaqonal D komponentinə və onun qalığı R matrisinə bölünür:

${\displaystyle A=D+R\qquad {\text{where}}\qquad D={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}{\text{ and }}R={\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &0\end{bmatrix}}.}$

Bunun həlli təkrarlanmaqla belə tapılır

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=D^{-1}(\mathbf {b} -R\mathbf {x} ^{(k)}),}$

burada ${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}}$, ${\displaystyle \mathbf {x} }$-nin k dərəcəli approksimasiyası yaxud təkrarlanması və ${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}}$, ${\displaystyle \mathbf {x} }$-nin növbəti yaxud k + 1 dərəcəli təkrarlanmasıdır. Element əsaslı formula beləcə aşağıdakı kimidir:

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

x_i^(k+1) hesablanması x^(k)-də özündən başqa hər bir elementin olmasını tələb edir.

Nümunə

Xətti bərabərlik sistemi ${\displaystyle Ax=b}$ formasında və onun ilkin fərz edilən həlli ${\displaystyle x^{(0)}}$ verilib

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\5&7\\\end{bmatrix}},\ b={\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad x^{(0)}={\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}.}$

Biz ${\displaystyle x}$ hesablamaq üçün yuxarıda verilən ${\displaystyle x^{(k+1)}=D^{-1}(b-Rx^{(k)})}$ bərabərliyindən istifadə edirik. Əvvəlcə biz bərabərliyi daha rahat olan ${\displaystyle D^{-1}(b-Rx^{(k)})=Tx^{(k)}+C}$ formasında yazırıq, burada ${\displaystyle T=-D^{-1}R}$ və ${\displaystyle C=D^{-1}b}$. Nəzərə alın ki, ${\displaystyle R=L+U}$, burada ${\displaystyle L}$ və ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle A}$ matrisinin aşağı və yuxarı hissələridir. Verilən dəyərlərə əsasən

${\displaystyle D^{-1}={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}},\ L={\begin{bmatrix}0&0\\5&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad U={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}.}$

biz ${\displaystyle T=-D^{-1}(L+U)}$ tapırıq

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}\left\{{\begin{bmatrix}0&0\\-5&0\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\\\end{bmatrix}}\right\}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}.}$

Daha sonra ${\displaystyle C}$ tapılır

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle T}$ və ${\displaystyle C}$ hesablandıqdan sonra biz ${\displaystyle x}$-i ${\displaystyle x^{(1)}=Tx^{(0)}+C}$ kimi hesablayırıq:

${\displaystyle x^{(1)}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5.0\\8/7\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}5\\1.143\\\end{bmatrix}}.}$

Təkrarlamanın nəticələri belədir

${\displaystyle x^{(2)}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5.0\\8/7\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}69/14\\-12/7\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}4.929\\-1.714\\\end{bmatrix}}.}$

Bu proses yığılmaya kimi (yəni ${\displaystyle \|Ax^{(n)}-b\|}$ kiçik olana qədər) davam etdirilir. 25 təkrarlamadan sonra həll belədir

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}7.111\\-3.222\end{bmatrix}}.}$

Xarici keçidlər

• Black, Noel; Moore, Shirley; and Weisstein, Eric W. Jacobi method (ing.) Wolfram saytında.
• Jacobi Method from www.math-linux.com
• Numerical matrix inversion

İstinadlar