Tərs triqonometrik funksiyalar

Tərs triqonometrik funksiyalar (dairəvi funksiya, arkfunksiya) — triqonometrik funksiyalar tərsinə çevrilə bilən . Tərs triqonometrik funksiyalara əsasən altı funksiya daxildir:

• arksinus (${\displaystyle \mathrm {arcsin} \,x}$ — bu bucağın sinusu ${\displaystyle x}$-ə bərabərdir)
• arkkosinus (${\displaystyle \mathrm {arccos} \,x}$ — bu bucağın kosinusu ${\displaystyle x}$-ə bərabərdir)
• arktangens (${\displaystyle \mathrm {arctan} \,x}$, bəzi ədəbiyyatlarda ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,x}$)
• arkkotangens (${\displaystyle \mathrm {arccot} \,x}$ və ya ${\displaystyle \mathrm {arccotan} \,x}$, bəzi ədəbiyyatlarda ${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x}$)
• arksekans (${\displaystyle \mathrm {arcsec} \,x}$)
• arkkosekans (${\displaystyle \mathrm {arccsc} \,x}$, bəzi ədəbiyyatlarda ${\displaystyle \mathrm {arccosec} \,x}$)

Triqonometrik funksiyaların adının qarışındakı "arc" sözü ( lat. arcus — ox, qövs, qövsəoxşar xətt) bu funksiyaları tərs triqonometrik funksiyaların adına çevirir. Bu onunla bağlıdır ki, tərs triqonometrik funksiyaların həndəsi qiyməti vahid çevrənin qövsünün uzunluğu ilə əlaqələndirmək olar. Tərs triqonometrik funksiyalar anlayışını Laqranj köməyi ilə Avstriya riyaziyyatçısı Karla Şerfer (alm. Karl Scherffer‎; 1716—1783) daxil etmişdir.

Əsas eyniliklər

${\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {arctan} \,x+\operatorname {arccot} \,x={\frac {\pi }{2}}}$

Arksinus funksiyası

${\displaystyle y=\arcsin x}$ funksiyasının qrafiki.

Arksinus - m ədədinin x bucağının qiymətinə , radian ifadəsinə deyilir, hansı ki, ${\displaystyle \sin x=m,\,-{\frac {\pi }{2}}\leqslant x\leqslant {\frac {\pi }{2}},\,|m|\leqslant 1.}$

${\displaystyle y=\sin x}$ funksiyası bütün ədəd oxunda kəsilməz və məhduddur. ${\displaystyle y=\arcsin x}$ funksiyası ciddi artandır.

• ${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\qquad }$ ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1,}$
• ${\displaystyle \arcsin(\sin y)=y\qquad }$ ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},}$
• ${\displaystyle D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad }$ (təyin oblastı),
• ${\displaystyle E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad }$ (qiymətlər çoxluğu).

Arksinus funksiyasının xassələri

• ${\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad }$ (tək funksiyadır).
• ${\displaystyle 0<x\leqslant 1}$ olduqda ${\displaystyle \arcsin x>0}$.
• ${\displaystyle x=0}$ olduqda ${\displaystyle \arcsin x=0}$.
• ${\displaystyle -1\leqslant x<0}$ olduqda ${\displaystyle \arcsin x<0}$.
• ${\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$

Arcsin funksiyasının alınışı

${\displaystyle y=\sin x}$ funksiyası verilmişdir. Bu funksiya özünün bütün təyin oblastında hissə-hissə monotondur, və deməli, uyğun olaraq tərsi ${\displaystyle y=\arcsin x}$ funksiyası təyin edilməyibdir. Buna görə də elə parçaya baxmaq lazımdır ki, tərs funksiyası artan olsun və bütün qiymətlər çoxluğunda — ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$ doğrudur. Belə ki, ${\displaystyle y=\sin x}$ funksiyası üçün ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$ intervalda funksiyanın hər bir qiyməti yeganə arqument qiymətinə yığılır, onda bu parçada ${\displaystyle y=\arcsin x}$ tərs funksiyası, ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$ parçasında ${\displaystyle y=\sin x}$ funksiyasının qrafikinə simmetrik qrafiki var.

Arkkosinus funksiyası

${\displaystyle y=\arccos x}$ funksiyasının qrafiki.

Arkkosinus- Elə m ədədinə deyilir ki, radian ölçüsündə x bucağına bərabərdir, hansı ki, ${\displaystyle \cos x=m,\qquad 0\leqslant x\leqslant \pi ,|m|\leqslant 1}$

${\displaystyle y=\cos x}$ funksiyası bütün ədəd oxunda kəsilməz və məhduddur. ${\displaystyle y=\arccos x}$ funksiyası ciddi azalandır.

• ${\displaystyle \cos(\arccos x)=x}$ ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}$ olduqda,
• ${\displaystyle \arccos(\cos y)=y}$ ${\displaystyle 0\leqslant y\leqslant \pi }$ olduqda,
• ${\displaystyle D(\arccos x)=[-1;1],}$ (təyin oblastı),
• ${\displaystyle E(\arccos x)=[0;\pi ].}$ (qiymətlər oblastı).

Arccos funksiyasının xassələri

• ${\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x}$ (funksiyanın ${\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)}$) mərkəzi-simmetrik nöqtəsidir, cüt funksiyadır.
• ${\displaystyle \arccos x>0}$, ${\displaystyle -1\leqslant x<1}$ olduqda,
• ${\displaystyle \arccos x=0}$, ${\displaystyle x=1}$ olduqda
• ${\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.}$
• ${\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}}$
• ${\displaystyle \arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}}$
• ${\displaystyle \arccos x=2\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}$

Arccos funksiyasının alınışı

Arktangens funksiyası

${\displaystyle y=\operatorname {arctan} \,x}$ funksiyasının qrafiki.

${\displaystyle y=\operatorname {arctan} x}$ funksiyası bütün ədəd oxunda kəsilməz və məhduddur. ${\displaystyle y=\operatorname {arctan} x}$ funksiyası ciddi artandır.

• ${\displaystyle \operatorname {tan} \,(\operatorname {arctan} \,x)=x}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ olduqda
• ${\displaystyle \operatorname {arctan} \,(\operatorname {tan} \,y)=y}$, ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$ olduqda
• ${\displaystyle D(\operatorname {arctan} \,x)=(-\infty ;\infty ),}$
• ${\displaystyle E(\operatorname {arctan} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}$

arctan funksiyasının xassələri

• ${\displaystyle \operatorname {arctan} (-x)=-\operatorname {arctan} x\qquad }$

• ${\displaystyle \operatorname {arctan} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

• ${\displaystyle \operatorname {arctan} x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$, x > 0 -da.

• ${\displaystyle \operatorname {arctan} x=\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}}$

• ${\displaystyle \operatorname {arctan} x=-i\operatorname {arcth} {ix}}$, haradakı ${\displaystyle \operatorname {arcth} }$ — hiperbolik arktangens.

• ${\displaystyle \operatorname {arcth} x=i\operatorname {arctan} {ix}}$

arctan funksiyasının alınışı

...

Arkkotangens funksiyası

${\displaystyle y=\operatorname {arccot} x.}$ funksiyasının qrafiki

${\displaystyle y=\operatorname {arccot} \,x}$ funksiyası bütün ədəd oxunda kəsilməz və məhduddur. ${\displaystyle y=\operatorname {arccot} \,x}$ funksiyası ciddi azalandır.

• ${\displaystyle \operatorname {cot} \,(\operatorname {arccot} \,x)=x}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ olduqda
• ${\displaystyle \operatorname {arccot} \,(\operatorname {cot} \,y)=y}$, ${\displaystyle 0<y<\pi }$ olduqda
• ${\displaystyle D(\operatorname {arccot} \,x)=(-\infty ;\infty ),}$
• ${\displaystyle E(\operatorname {arccot} \,x)=(0;\pi ).}$

arccot funksiyasının xassələri

• ${\displaystyle \operatorname {arccot} \,(-x)=\pi -\operatorname {arccot} \,x}$ ( ${\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccot} \,x>0}$, istənilən ${\displaystyle x}$ olduqda
• ${\displaystyle \operatorname {arccot} \,x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccot} x=\pi /2-\operatorname {arccot} x.}$

arccot funksiyasının alınışı

...

Arksekans funksiyası

${\displaystyle \mathop {\operatorname {arcsec} } \,(x)\,=\operatorname {arccos} \left({\frac {1}{x}}\right)}$

Arkkosekans funksiyası

${\displaystyle \mathop {\operatorname {arccsc} } \,(y)\,=\operatorname {arcsin} \left({\frac {1}{y}}\right)}$

Tərs triqonometrik funksiyaların törəmələri

${\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$
${\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$
${\displaystyle (\operatorname {arctan} \,x)'={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}$
${\displaystyle (\operatorname {arccot} \,x)'=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}$

Tərs triqonometrik funksiyaların inteqralları

Qeyri-müəyyən inteqral

x həqiqi və kompleks qiymətlər üçün :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctan} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctan} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arccot} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccsc} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}}$

x ≥ 1 həqiqi qiymətlər üçün:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccsc} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C.\end{aligned}}}$$

Həndəsəyə tətbiqi

Əgər üçbucağın tərəfləri verilərsə, onda üçbucağın bucaqlarının tapılması üçün tərs triqonometrik funksiyalarından istifadə edilir. Məsələn: Kosinuslar teoremi ilə tapılır.

Düzbucaqlı üçbucaqda, bucağı tərəflər arasındakı münasibət vasitəsilə bu funksiyalarla alınır:

α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctan (a/b) = arccsc (c/a) = arcsec (c/b) = arccot (b/a)

Natural loqarifmlə əlaqəsi

Kompleks arqumentli tərs triqonometrik funksiyaların dəyişəninin həlli üçün natural loqarifmlərlə verilməsi düsturları:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arctan} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccsc} \,z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}}$

İstinadlar

• Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (ing.) Wolfram saytında.
• Математическая энциклопедия. Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — Т. 3. — с. 1135.
• Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
• Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

Həmçinin

• Triqonometrik funksiyalar