Qauss üsulu

Qauss üsulu — Xətti tənliklər sistemini həll etmək üçün klassik üsul. Bəzən bu üsula əmsalları yoxetmə üsulu da adlanır.

Tutaq ki, kvadrat xətti tənliklər sistemi verilmişdir

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{cases}},(1)}$

Bu sistemin həlli üçün məchulun yox edilməsi və ya Qausus üsulunun mahiyyəti aşağıdakı kimidir. Tutaq ki, ${\displaystyle a_{11}\neq 0}$. Onda sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini ${\displaystyle \ {\frac {a_{21}}{a_{11}}}}$ vuraraq alınan

${\displaystyle a_{21}x_{1}+\ {\frac {a_{12}a_{21}}{a_{11}}}x_{2}+\ {\frac {a_{1n}a_{21}}{a_{11}}}x_{n}=\ {\frac {a_{21}}{a_{11}}}b_{1}}$

tənliyini sistemin ikinci tənliyindən tərəf-tərəfə çıxaq. Aldığımız tənlikdə ${\displaystyle x_{1}}$ məchulu iştirak etmir.

${\displaystyle a'_{22}x_{2}+a'_{23}x_{3}+...+a'_{2n}x_{n}=b'_{2}}$

Sonra sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini ${\displaystyle \ {\frac {a_{21}}{a_{11}}}}$ vuraraq alınan tənliyini sistemin üçüncü tənliyindən tərəf-tərəfə çıxaq. Bu mühakiməni ardıcıl tətbiq etməklə (1) sistemini

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a'_{22}x_{2}&+\dots &+a'_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\dots &\dots &\dots \\a'_{n2}x_{2}&+\dots &+a'_{nn}x_{n}&=b_{n}\end{cases}},(2)}$

şəklində sistemə gətirmək olar. Aldığımız yeni sistemin 2-ci, 3-cü və s. tənliklərdən istifadə etməklə yuxarıda gördüyümüz üsulla ${\displaystyle x_{2}}$ məchulunuda yox etmək olar. Bu mühakiməni ardıcıl olaraq tətbiq etməklə (1) sistemini ona ekvivalent olan

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a'_{22}x_{2}&+\dots &+a'_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\dots &\dots &\dots \\a'_{(nn)(n-1)}x_{n}&=b_{(nn)(n-1)}\end{cases}},(3)}$

tənliklər sisteminə gətirmək olar. (3) sisteminə pilləvari (və ya pilləkən şəklində) sistem deyilir. sonuncu tənlikdən ${\displaystyle x_{n}}$ məchulu tapılır, sonra yuxarı qalxaraq ${\displaystyle x_{(}n-1)}$ və bu qayda ilə davam edərək birinci tənlikdən ${\displaystyle x_{1}}$ məchulunu tapırıq. (1) sistemini Qauss üsulu ilə həll edərkən tənliklər üzərində aparılan əməlləri bəzən onların əmsallarından düzəlmiş

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}a_{12}...a_{1n}b_{1}\\a_{21}a_{22}...a_{2n}b_{2}\\............\\a_{n1}a_{n2}...a_{nn}b_{n}\end{pmatrix}}}$

matrisi üzərində aparmaq daha münasib olur. Belə matris genişlənmiş matris adlanır.

Mənbə

http://brain.ilkaddimlar.com/login.html 2017-05-25 at the Wayback Machine