0.(9)

0.999… (həmçinin 0.9, 0.(9) kimi yazılır) — Riyaziyyatda onluq nöqtədən sonra yazılan sonsuz sayda 9 rəqəmindən ibarət olan rasional ədəd. 0.999… ədədi 0.9, 0.99, 0.999 və s. kimi ədədlərin hamısından böyükdür. Bu ədəd 1-ə bərabər olaraq göstərilə bilər. Başqa sözlə "0.999 …" və "1" eyni ədədi təmsil edir. Bu bərabərliyin riyazi olaraq sübuta yetirilməsinin bir çox yolu var.

Onluq kəsrdə 9 rəqəmi sonsuza kimi təkrarlanır.

Cəbri isbatlar

Dövri kəsrlərdən

Hər rasional ifadə sonlu sayda rəqəm ehtiva edən onluq ədədlərlə ifadə edilə bilməz. Məsələn;

${\displaystyle {\frac {5}{9}}=0,(5)}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0,(3)}$ kimi.

Əgər ikinci bərabərliyin hər iki tərəfini 3-ə vursaq:

${\displaystyle {\frac {3}{3}}=3\times 0,{\bar {3}}}$

${\displaystyle 1=0,(9)}$ bərabərliyini alarıq.

Dörd əməliyyatdan

${\displaystyle 0.(9)}$ ədədini riyaziyyat dilində məchul ifadələrə verilən ${\displaystyle x}$ ilə əvəzləyək.

${\displaystyle x=0,(9)}$

Hər iki tərəfi 10-a vuraq.

${\displaystyle 10x=9,(9)}$

Hər iki tərəfdən ədədin özünü, yəni ${\displaystyle x}$-i çıxaq.

${\displaystyle 9x=10x-x=9,(9)-0,(9)=9}$

Sadələşdirək.

${\displaystyle x=1}$

Limitdən

Ədədimizi limit dilində ifadə ədək:

${\displaystyle 0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)}$

${\displaystyle n}$ sonsuza yaxınlaşarkən ${\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}}$ ifadəsi ${\displaystyle 0}$-a bərabərdir. Buradan alınır ki;

${\displaystyle =1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,}$ dir.

Sonsuz ardıcıllıqlardan

Teorem:${\displaystyle |r|<1}$ və ${\displaystyle a}$ sabit ədəddir və ${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}}$-dir.

Ümumi termini ${\displaystyle r=\textstyle {\frac {1}{10}}}$ və sabit ədədi ${\displaystyle 9}$ olan ardıcıllıq ${\displaystyle 0.(9)}$-dur. Teoremimizi ədədimizə tətbiq etsək

${\displaystyle 0.999\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1}$ olduğunu görə bilərik.

İstinadlar

1. 0.9, 0.99, 0.999 və s. kimi ifadələrdə sonuncu mərtəbədən sonra 0 rəqəmləri yazıla bilər və bu ifadənin qiymətini dəyişmir. Riyaziyyatdan məlumdur ki:
   ${\displaystyle 0.9000...<0.9900...<...<0.9999...}$